微积分（高等数学）趣味补充习题

第3题（定积分）

计算积分$$\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2+\sin^{2}x} dx. $$

思路分析：
显然分母不好直接处理, 应该是通过某种形式直接代换掉的, 我们应该先观察分子.

解答：
题干具有误导性. 积分的极限并无特殊之处!
不定积分可如以下算出:

\begin{aligned} \int \frac{x \cos x - \sin x}{x^{2} + \sin^{2} x} d x & = \int \frac{\frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^{2}}}{1 + (\frac{\sin x}{x})} d x \\ = \int \frac{1}{{(\frac{\sin x}{x})}^{2}} {(\frac{\sin x}{x})}^{'} d x \\ = \arctan (\frac{\sin x}{x}) + C . \end{aligned}

由此, $$\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \dfrac{x \cos x - \sin x}{x^{2}+\sin^2 x } , dx =\arctan \dfrac{2}{\pi} - \dfrac{\pi}{4}.$$

注1：本题来自于《Putnam and Beyond(2nd Ed)》的第556题.
注2：分子的形式让我们想到到了求导公式 $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ , 但是分子中却是一个减号, 因此考虑利用求导公式 ${(\frac{f}{g})}^{'} = \frac{(f^{'} g - g^{'} f)}{g^{2}}$ .